12.10.2026 数学第三节课

12.10.2026 数学第三节课 — 有理分式在 x→∞ 时的极限与课堂练习

来源：12.10.2026 数学第三节课（音频约 39 分钟，约 2359 秒）· 转录：whisper-large-v3-turbo（zh）

概览

本节课是数学课的第三节课，承接前两节课（数列与函数的极限、极限的四则运算法则），重点讲解 有理分式（多项式之比）在 x→∞ 时的极限求法：通过分子分母同时除以最高次项，化出趋于 0 的无穷小量，从而求出极限。课程总结了 按最高次数比较 的通用规律（次数相等 → 极限为首项系数之比；分子次数低 → 极限为 0；分子次数高 → 极限为无穷大），并带领学生完成多道课堂练习题，涵盖通分、因式分解、有理化等变形技巧。

详细讲解

一、回顾：分式极限与通分、因式分解

回顾上节课思想：分式极限若分子分母都趋于 0（0/0 型），不能直接代入，要先变形。
通分（合并分母）：当两个分式分母不同时，先化为同分母再相减，例如把分母化为 12 后，12 分之 4 减 12 分之 3 得 12 分之 1。
因式分解消去：例如分母为 1-x² 时可写成 (1-x)(1+x)，分子分母约去 (1-x) 后再求极限；如 x-1 与 1-x 相差一个符号，约分后注意符号变化（结果为负）。
强调：不要盲目拆开两个函数分别求极限，而是把它们合并、通分后化成一个函数再求极限。

二、x→∞ 型有理分式的极限：除以最高次项

例：求 (x²-3)/(3x²+x+1) 在 x→∞ 时的极限：分子分母同除以 x²。
分子化为 1 - 3/x²，分母化为 3 + 1/x + 1/x²。
当 x→∞ 时，1/x、1/x²、3/x² 都趋于 0（无穷小量）。
结果：极限 = 1/3。
关键思想：对最高次项的次数最高的项，分子分母同除，使其余各项化为无穷小量（趋于 0），极限即可直接看出。
例题变化：若分子最高次数为 2、分母最高次数为 3，则同除以 x³；若分子为 3 次、分母为 2 次，同样除以最高次 x³，再逐项取极限。

三、一般规律：比较最高次数 n 与 m

对有理分式（分子为 n 次多项式、分母为 m 次多项式），当 x→∞ 时，按 n 与 m 的大小关系讨论：

n = m（次数相等）：极限 = 最高次项系数之比 an/bn。例如上面例 1，分子二次、分母二次，极限 = 1/3（或写作 3 分之 1）。
n < m（分子次数低）：除以最高次后分子趋于 0、分母趋于常数，极限 = 0。
n > m（分子次数高）：分子趋于无穷大，极限 = ∞（不存在，为无穷大量）。

老师指出：这个规律可以当作公式使用，遇到此类题目直接按此方法计算即可，不需要每次重新推导。

四、课堂练习：除以最高次项与有理化

练习题 1（第三个）：「分子分同时除以 x³」型，分子次数低于分母次数，极限 = 0。
练习题 2：需要通分，把第一项分子写成 (x+2) 形式并做因式分解，分子为 x-2、分母为 2-x（相差一个符号，写成负号形式），两项抵消后化简求极限。
练习题 3（第一个）：含有根式，用 有理化 方法——分子分母同乘共轭式（平方差公式），把根式化为有理式；再分子分母同除以变化量，分子剩下 1，分母中各项趋于 0。
练习题 4：x→∞ 型，同除以最高次项后，极限 = 1/2（二分之一）。
结论：这些练习题与前面例题同型，掌握「除以最高次项 + 因式分解 + 有理化」三种手段即可求解。

五、注意事项：极限过程不可混淆

老师特别提醒：做题时一定要观察极限过程——题目是 x→∞ 还是 x→0，写法上只差一点点，结果完全不同。
例如：x→∞ 时某式极限为 0；若把 x→∞ 换成 x→0，则要重新计算，结果可能不同（如趋向定值）。
强调：观察自变量的变化趋势（极限过程）是求极限的第一步，不可想当然。

六、作业

课程最后布置了作业（作业题），内容与上述练习题同型，要求学生在课后练习巩固。

思维导图（mermaid）

graph TD A["有理分式在 x→∞ 时的极限"] --> B["方法：分子分母同除最高次项"] A --> C["一般规律：比较最高次数 n 与 m"] A --> D["变形技巧"] B --> B1["例 x²-3 / 3x²+x+1 → 1/3"] C --> C1["n=m → 极限=an/bn（系数之比）"] C --> C2["n＜m → 极限=0"] C --> C3["n＞m → 极限=∞（不存在）"] D --> D1["通分合并分母"] D --> D2["因式分解消去公共因子"] D --> D3["有理化：平方差公式"] D1 --> D4["例 12分之4 - 12分之3 = 12分之1"] D2 --> D5["例约去（1-x）、（x-2）注意符号"] D3 --> D6["例根式分式同乘共轭式"] A --> E["注意事项：观察极限过程 x→∞ / x→0"]

总结

本节课核心是 有理分式在 x→∞ 时的极限：分子分母同除以最高次项，将非最高次项化为趋于 0 的无穷小量，再求极限。
一般规律：次数相等 → 极限为首项系数之比；分子次数低 → 极限为 0；分子次数高 → 极限为无穷大（不存在）。
变形手段回顾：通分、因式分解消去、有理化（平方差公式），注意约分时的符号变化。
做题时必须 先观察极限过程（x→∞ 还是 x→0），过程不同结果不同。
课堂练习与作业均与例题同型，巩固「除以最高次项 + 变形」的方法。

转录与整理：Traderis 内容管道（2026-10-28）

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