21.09.2026 数学第二节课

21.09.2026 数学第二节课 — 函数的概念、定义域与六类基本初等函数

来源：21.09.2026 数学第二节课（音频约 47 分钟，约 2813 秒）· 转录：whisper-large-v3-turbo（zh）

概览

本节课是数学课的第二节课，承接上一节课（函数作为「对应法则」的引入），系统深化 函数的概念：明确函数的两个基本要素——定义域 与值域；通过大量例题训练 求定义域（根号、分式、对数等限制条件及其交集）和 函数值的计算（代入具体值或表达式）。课程后半部分正式介绍 六类基本初等函数：常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数（及反三角函数），并逐一说明其图像特征与重要性质（单调性、过定点、周期性等），为后续研究函数性质打下基础。

一、函数的概念：定义域与值域
二、求定义域：根号、分式、对数的限制
三、多个条件同时成立：取交集
四、函数值的计算：代入求值
五、六类基本初等函数概述
六、指数函数与对数函数：图像与性质
七、三角函数：周期性与图像
八、本课小结

详细讲解

一、函数的概念：定义域与值域

函数（函数）就是一个 对应法则（映射）：给定定义域中的每一个点，按法则得到唯一的像。
函数的两个最重要的要素：
定义域：自变量 x 所能取的所有值的集合。
值域：所有函数值（像）组成的集合。
老师强调：定义域和值域是研究函数时「一定非常重视」的两个概念。

二、求定义域：根号、分式、对数的限制

根号（偶次方根）：被开方数 ≥ 0。
例：√(9 - x²) 要有意义 → 9 - x² ≥ 0 → x² ≤ 9 → |x| ≤ 3，即定义域为 [-3, 3]。
分式：分母 ≠ 0。
例：分母含 (x-2)(x-3) 时，x ≠ 2 且 x ≠ 3，这两个点要排除。
例：分母含 x-1 时，要求 x - 1 ≠ 0 → x ≠ 1。
对数：真数（对数的自变量）> 0。
例：log x 要有意义 → x > 0；
例：log(x - 1) → x - 1 > 0 → x > 1。
求定义域的通用思路：把每个限制条件列出来，然后取它们的交集。

三、多个条件同时成立：取交集

当一个函数同时含根号、分式、对数等多种结构时，所有条件必须同时成立。
写法上常用区间表示，如 (1, 2) ∪ (2, 3) ∪ (3, 4) 之类——把排除的点挖掉后，用区间的并集表达定义域。
例：定义域为从 1 到 3，但还需排除 x = 1（x - 1 ≠ 0），所以写成 (1, 3] 或挖去端点的形式。
注意：集合的并集与区间 是表达定义域的两种常用工具，不要遗漏被排除的点。

四、函数值的计算：代入求值

给定函数表达式后，可代入具体数值或表达式求值。
例：f(x) = x² + 2x + 1
f(1) = 1² + 2·1 + 1 = 4；
f(a + 1) = (a+1)² + 2(a+1) + 1 = a² + 2a + 1 + 2a + 2 + 1 = a² + 4a + 4 = (a + 2)²；
类似地可代入 a - 1 等表达式，先算括号内再化简（注意乘法公式与配方）。
技巧：先化简表达式（如配方、因式分解），再代入，可以减少计算量。

五、六类基本初等函数概述

老师指出，后续课程将研究 六类最基本的函数（基本初等函数），这是研究函数的最基本工具：

常数函数：y = C，图像是水平直线，取值恒为常数 C。
幂函数：y = x^α（如 y = x²、y = x³ 等），图像随指数不同而变化（抛物线、立方抛物线等）。
指数函数：y = a^x（a > 0 且 a ≠ 1），图像为曲线，必过点 (0, 1)。
对数函数：y = log_a x，是指数函数的反函数，定义域为 x > 0。
三角函数：sin x、cos x、tan x 等，具有周期性。
反三角函数（提及）：作为三角函数的反函数。

六、指数函数与对数函数：图像与性质

指数函数 y = a^x：
当 a > 1 时，函数单调递增（图像上升）；
当 0 < a < 1 时，函数单调递减（图像下降）；
无论 a 如何，图像一定经过点 (0, 1)（因为 a⁰ = 1）。
自然常数 e ≈ 2.718…：一个特殊的数，以 e 为底的指数、对数在数学中非常常用。
对数函数 y = log_a x：与指数函数互为反函数（「对数是指数的相反/反函数」），定义域 x > 0，图像关于 y = x 与相应指数函数对称；同样分 a > 1（递增）与 0 < a < 1（递减）讨论。

七、三角函数：周期性与图像

常用三角函数：sin（正弦）、cos（余弦）、tan（正切） 等；有时也用 sec、csc 等。
周期性：正弦函数 y = sin x 的图像（正弦曲线）呈波浪形，周期为 2π；余弦函数 y = cos x 类似，周期也是 2π，图像与正弦曲线形状相同、相位平移。
图像可以沿 x 轴不断延伸，重复同样的形状——这是周期函数的基本特征。
要求：熟悉这些三角函数的图像形状与基本性质，后续会反复使用。

八、本课小结

复习要点：函数的定义、定义域、值域，以及 求定义域 的方法（根号 ≥ 0、分母 ≠ 0、对数真数 > 0，取交集）。
会用代入法计算函数值。
认识 六类基本初等函数 及其图像、性质（单调性、过定点、周期性），这是以后研究函数的最基本内容。
课后可自行练习、复习相关例题。

思维导图（mermaid）

graph TD A["第二节课：函数"] --> B["函数概念"] A --> C["求定义域"] A --> D["函数值计算"] A --> E["六类基本初等函数"] B --> B1["对应法则/映射"] B --> B2["定义域：x 的取值集合"] B --> B3["值域：函数值的集合"] C --> C1["根号：被开方数 ≥ 0"] C --> C2["分式：分母 ≠ 0"] C --> C3["对数：真数＞ 0"] C --> C4["多条件：取交集"] C1 --> C5["例 √（9-x²） → ［-3,3］"] C2 --> C6["例 x≠2, x≠3"] C3 --> C7["例 log（x-1） → x＞1"] D --> D1["代入求值 f（1）, f（a+1）"] E --> E1["常数函数 y=C"] E --> E2["幂函数 y=x^α"] E --> E3["指数函数 y=a^x"] E --> E4["对数函数 y=log_a x"] E --> E5["三角函数 sin/cos/tan"] E --> E6["反三角函数"] E3 --> E7["a＞1 递增；0＜a＜1 递减；过（0,1）"] E4 --> E8["指数函数的反函数；x＞0"] E5 --> E9["周期 2π；波浪形图像"]

总结

本节课深化 函数概念：函数 = 对应法则，核心要素是 定义域 与值域。
求定义域 的三类限制：偶次根号被开方数 ≥ 0、分母 ≠ 0、对数真数 > 0；多个条件同时成立时取交集，结果可用区间/并集表示。
函数值计算：代入具体数或表达式（如 f(1)、f(a+1)），先化简再代入。
引入 六类基本初等函数（常数、幂、指数、对数、三角、反三角），重点掌握指数函数（a>1 增 / 0<a<1 减，过 (0,1)，e≈2.718）、对数函数（反函数，x>0）与三角函数的周期性（sin/cos 周期 2π）。

转录与整理：Traderis 内容管道（2026-10-28）

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