21.09.2026 数学第一节课

21.09.2026 数学第一节课 — 课程说明、区间、邻域与函数概念

来源：21.09.2026 数学第一节课（音频约 36 分钟，约 2167 秒）· 转录：whisper-large-v3-turbo（zh）

概览

本节课是数学课的第一节课。课程开始先说明本学期的 考核方式与成绩构成（出勤、作业、平时表现与期末考试），然后进入正题：回顾常用数集记号（N、Z、Q、R），系统复习 区间（开区间、闭区间、半开半闭区间、无穷区间），重点讲解 邻域（以某点为中心、半径为 δ 的范围） 的概念与写法，并通过正反两方向的例题训练「区间 ⇄ 邻域」的互化；最后引入 函数（对应法则） 的定义，强调函数必须是「一对一」的对应。

详细讲解

一、课程说明：考核方式与成绩构成

最终成绩由 期末考试成绩 与 平时成绩 两部分构成；成绩可在学生系统中查询。
平时成绩（约占总成绩一部分）包含：
出勤（占 20%）：每次上课考勤；旷课、迟到会扣分，请假需经学院/系里批准。
作业（占 30%）：布置的作业计入平时成绩。
课堂表现 / 测验 / 平时上课情况：作为平时成绩的组成部分。
老师强调：平时成绩比较容易拿到，只要认真上课、认真完成作业；期末考试则要求更高。
教材说明：课本内容较多，上课内容会有所精简，课本并非必须购买，但要求做好作业。

二、常用数集记号：N、Z、Q、R

N：自然数集（positive integers）。
Z：整数集。
Q：有理数集。
R：实数集。
这些是以后课程中最常用的记号，要求同学们熟练掌握。

三、区间：开、闭、半开半闭与无穷区间

闭区间 [a, b]：两个端点都取到，即满足 a ≤ x ≤ b 的所有 x。
开区间 (a, b)：两个端点都不取，即 a < x < b。
半开半闭区间：如 [a, b) 或 (a, b]，一个端点取到、另一个不取到。
无穷区间：有时用到无穷（如 x > a、x < b 等）；注意 ∞ 不是数，而是一种变化趋势（可以任意大的趋势），不是某个实数。
函数的定义域通常用区间来表示，因此先复习区间概念。

四、邻域：定义、记号与等价写法

字面理解：邻域 = 离某个中心比较近的一个范围。
定义：以 x₀ 为中心、半径为 δ（δ > 0）的邻域，是与 x₀ 的距离不超过 δ 的点的集合。
记号：记作 U(x₀, δ)，可写成 |x - x₀| < δ。
等价写法（重点）：
|x - x₀| < δ 等价于 -δ < x - x₀ < δ；
再等价于 x₀ - δ < x < x₀ + δ，即开区间 (x₀ - δ, x₀ + δ)。
特点：邻域关于中心 x₀ 对称（把区间对折，两边恰好重合），中心是区间的中点。

五、例题：由邻域写区间、由区间求中心与半径

例 1：以 1/2 为中心、半径 1/2 的邻域 → 区间 (1/2 - 1/2, 1/2 + 1/2) = (0, 1)。
例 2：以 1 为中心、半径 1/2 的邻域 → (1 - 1/2, 1 + 1/2) = (1/2, 3/2)。
例 3：以 1/10 为中心、半径 1/10 的邻域 → (1/10 - 1/10, 1/10 + 1/10) = (9/10, 11/10)（即 0.9 到 1.1）。
反问题：给一个区间，求对应的邻域中心与半径：
区间 (1, 5)：中心 = (1+5)/2 = 3，半径 = (5-1)/2 = 2，即 U(3, 2)。
区间 (-1.1, -0.9)：中心 = (-1.1 + (-0.9))/2 = -1，半径 = 长度/2 = 0.2/2 = 0.1，即 U(-1, 0.1)。
一般规律：中心 = 两端点之和的一半（中点），半径 = 区间长度的一半。

六、函数的概念：对应法则与单值性

函数（function）本质上是一种 对应法则（映射）：给定一个集合（定义域）中的每个元素，按某个规则对应到另一个集合中的元素。
记号：f: X → Y，y = f(x)，其中 X 为定义域，x 为自变量，y 为因变量。
函数与一般对应（映射）的关键区别（重点）：函数要求 单值性——对定义域中的每一个 x，只能对应 唯一一个 y；而一般的对应关系可能让一个点对应到多个点。
这一性质是函数最重要的要素，后续课程会反复用到。

思维导图（mermaid）

graph TD A["第一节课"] --> B["课程说明：成绩构成"] A --> C["数集记号"] A --> D["区间"] A --> E["邻域"] A --> F["函数概念"] B --> B1["期末考试成绩"] B --> B2["平时成绩：出勤20% + 作业30% + 课堂表现/测验"] C --> C1["N 自然数"] C --> C2["Z 整数"] C --> C3["Q 有理数"] C --> C4["R 实数"] D --> D1["开区间（a,b）"] D --> D2["闭区间［a,b］"] D --> D3["半开半闭"] D --> D4["无穷区间：∞不是数，是趋势"] E --> E1["定义：以x₀为中心、半径δ"] E --> E2["记号 U（x₀,δ）即｜x-x₀｜＜δ"] E --> E3["等价：x₀-δ ＜ x ＜ x₀+δ"] E --> E4["关于中心对称"] E --> E5["例：区间→中心=中点，半径=半长"] F --> F1["对应法则 f: X→Y"] F --> F2["单值性：一个x对应唯一y"] F --> F3["与一般映射的区别"]

总结

本节课为课程导论：先明确了 成绩构成（期末 + 平时：出勤 20%、作业 30%、课堂表现/测验）。
复习了常用记号 N、Z、Q、R 与区间（开、闭、半开半闭、无穷区间；∞ 是趋势不是数）。
重点掌握邻域：U(x₀, δ) = {x | |x-x₀| < δ} = (x₀-δ, x₀+δ)，关于中心对称；由区间求中心与半径时，中心是端点中点，半径是长度一半。
引入函数定义：对应法则，且必须单值（一个 x 只对应一个 y）——这是函数区别于一般映射的核心。

转录与整理：Traderis 内容管道（2026-10-28）

21.09.2026 数学第一节课