26.10.2026 数学第二节课

26.10.2026 数学第二节课 — 求导公式的推导：幂函数、指数函数与正弦函数

来源：26.10.2026 数学第二节课（音频约 37 分钟，约 2238 秒）· 转录：whisper-large-v3-turbo（zh）

概览

本节课是「导数」主题的第二节课，重点在于 用定义（极限）推导基本初等函数的求导公式。老师依次推导了 幂函数 (x^n)′（借助牛顿二项式展开与组合数）、指数函数 (aˣ)′（借助换元与「第二个重要极限」e）以及 正弦函数 (sin x)′（借助三角恒等式与「第一个重要极限」）。课程还通过例题（如 2ˣ·3ˣ = 6ˣ 的求导）展示公式的组合使用，并强调两个 重要极限 在推导中的核心地位——没有它们，导数公式就推不出来。最后布置/提及作业（如 (sin x)′ 的相关计算）。

详细讲解

一、复习与工具：牛顿二项式定理、组合数

要算 (x^n)′ 的极限，需要 牛顿二项式定理（牛顿二项展开式）：
(a + b)ⁿ = aⁿ + C(n,1)·a^(n−1)·b + C(n,2)·a^(n−2)·b² + … + bⁿ。
组合数 C(n,k) 的含义：从装有 n 个小球的盒子里取出 k 个球的不同取法数（如 C(n,1) = n，C(n,2) = n(n−1)/2 等）。
组合数用于展开式中各项系数的计算。

二、推导一：幂函数 (x^n)′ = n·x^(n−1)

按定义：f′(x) = lim(Δx→0) [f(x+Δx) − f(x)] / Δx。
取 f(x) = xⁿ，将 (x+Δx)ⁿ 用 二项式定理 展开：
(x+Δx)ⁿ = xⁿ + n·x^(n−1)·Δx + C(n,2)·x^(n−2)·(Δx)² + … + (Δx)ⁿ。
代入定义：分子中 xⁿ 抵消，各项除以 Δx 后：
第一项 = n·x^(n−1)；
其余项都含有 Δx 的正幂次。
取极限 Δx → 0：所有含 Δx 的项都趋于 0，只剩第一项 ⇒ (xⁿ)′ = n·x^(n−1)（n 为自然数；对任意实数 a 也有类似结论 (x^a)′ = a·x^(a−1)）。
应用：如 f(x) = x⁷，则 f′(x) = 7x⁶；两个幂函数相乘仍是幂函数（次数相加），可直接用公式。

三、推导二：指数函数 (aˣ)′ = aˣ·ln a

按定义：f′(x) = lim(Δx→0) [a^(x+Δx) − aˣ] / Δx。
分子提取公因式 aˣ：= aˣ · lim(Δx→0) [a^(Δx) − 1] / Δx（aˣ 与 Δx 无关，可提出）。
换元：令 t = a^(Δx) − 1，则 a^(Δx) = 1 + t，Δx = log_a(1+t)（以 a 为底的对数）；当 Δx→0 时 t→0。
极限化为：aˣ · lim(t→0) t / log_a(1+t) = aˣ · 1 / [lim(t→0) log_a(1+t)^(1/t)]。
括号内利用 第二个重要极限：lim(t→0) (1+t)^(1/t) = e，故 log_a(e) = 1/ln a。
结果：(aˣ)′ = aˣ · ln a。
特例 a = e：(eˣ)′ = eˣ（ln e = 1）。
说明：对数函数、其他指数相关函数的求导算法与指数函数类似（第五、六个公式课上略讲，算法类似）。

四、两个重要极限的登场

推导 (sin x)′ 用到 第一个重要极限：lim(x→0) sin x / x = 1（「奇迹极限」）。
推导 (aˣ)′ 用到 第二个重要极限：lim(t→0) (1+t)^(1/t) = e。
老师强调：这两个极限之所以叫「重要极限」，是因为 没有它们，基本导数公式就推不出来——微积分这门课也就无从谈起。它们是整个求导公式体系的基石。

五、例题：2ˣ·3ˣ 的导数

求 f(x) = 2ˣ·3ˣ 的导数。
先把两个指数函数合并：2ˣ·3ˣ = (2·3)ˣ = 6ˣ（同底数指数相乘，底数相乘、指数不变）。
再用指数函数求导公式：(6ˣ)′ = 6ˣ·ln 6。

六、推导三：正弦函数 (sin x)′ = cos x

按定义：f′(x) = lim(Δx→0) [sin(x+Δx) − sin x] / Δx。
用 三角恒等式（和差化积）：
sin α − sin β = 2·cos[(α+β)/2]·sin[(α−β)/2]。
分子化为：2·cos(x + Δx/2)·sin(Δx/2)。
除以 Δx 并变形：cos(x + Δx/2) · sin(Δx/2)/(Δx/2)。
取极限：cos(x+Δx/2) → cos x（余弦连续）；sin(Δx/2)/(Δx/2) → 1（第一个重要极限）。
结果：(sin x)′ = cos x。
老师提到作业/练习中包含此类计算（如 sin 相关求导、以及类似 2x+Δx → 2 的极限化简）。

七、本课小结

用定义推导了三条基本公式：(xⁿ)′ = n·x^(n−1)、(aˣ)′ = aˣ·ln a（特例 (eˣ)′ = eˣ）、(sin x)′ = cos x。
关键工具：牛顿二项式定理（幂函数）、换元 + 第二个重要极限 e（指数函数）、和差化积 + 第一个重要极限 sin x/x → 1（正弦函数）。
两个 重要极限 是求导公式的基石，必须掌握。
学会公式的组合使用（如 2ˣ·3ˣ → 6ˣ 再求导）；更多公式（对数、三角等）算法类似，后续课程继续。

思维导图（mermaid）

graph TD A["求导公式的推导"] --> B["工具"] A --> C["（x^n）′=n·x^（n−1）"] A --> D["（a^x）′=a^x·ln a"] A --> E["（sin x）′=cos x"] A --> F["例题与要点"] B --> B1["牛顿二项式定理 + 组合数"] B --> B2["重要极限一：sin x/x → 1"] B --> B3["重要极限二：（1+t）^（1/t） → e"] C --> C1["展开（x+Δx）^n"] C --> C2["抵消 x^n，Δx→0"] D --> D1["提公因式 a^x"] D --> D2["换元 t=a^（Δx）−1"] D --> D3["用重要极限 e"] D --> D4["特例：（e^x）′=e^x"] E --> E1["和差化积 sinα−sinβ"] E --> E2["cos（x+Δx/2）·sin（Δx/2）/（Δx/2）"] E --> E3["用重要极限一 → cos x"] F --> F1["2^x·3^x=6^x → （6^x）′=6^x·ln6"] F --> F2["重要极限是求导的基石"]

总结

本节课用极限定义推导了三条基本求导公式：(xⁿ)′ = n·x^(n−1)、(aˣ)′ = aˣ·ln a（含特例 (eˣ)′ = eˣ）、(sin x)′ = cos x。
推导工具：幂函数用 牛顿二项式定理；指数函数用 换元 + 第二个重要极限 (1+t)^(1/t)→e；正弦函数用 和差化积 + 第一个重要极限 sin x/x→1。
两个重要极限是全部求导公式的基石，务必掌握。
例题提醒公式要灵活组合（2ˣ·3ˣ = 6ˣ ⇒ 导数 6ˣ·ln 6）；其余函数（对数、余弦等）的公式算法类似，后续课程继续推导。

转录与整理：Traderis 内容管道（2026-10-28）

26.10.2026 数学第二节课