30.09 数学第二课（单侧极限与无穷远处的极限）

30.09.26 数学第二课 — 函数的单侧极限与无穷远处的极限

来源：30.09.26 数学第二课（音频约 41.6 分钟，约 2498 秒）· 转录：whisper-large-v3-turbo（zh）

概览

第二课在第一课（数列极限、函数极限直观）的基础上，正式展开函数极限的“方向”：从左边趋近（左极限）和从右边趋近（右极限）。通过具体函数图形（含分段函数、x=0 处的跳跃、1/x、正切相关图像等）说明：双侧极限存在当且仅当左右极限都存在且相等；否则极限不存在。课程还讨论了自变量趋于 ±∞（无穷远处）的极限，以及利用图形观察极限的方法。

目录

• 一、左极限与右极限：直观与记号
• 二、例 1：x→1 处的左右极限
• 三、例 2：分段函数在 x=0（左右极限不相等 → 不存在）
• 四、三个极限的关系定理（双侧 ↔ 左右相等）
• 五、补充例题：左右极限存在但不相等
• 六、自变量趋于 ±∞ 的极限（含 1/x）
• 七、课堂收束：极限概念框架

详细讲解

一、左极限与右极限：直观与记号

• 考察“方向”：自变量 x 可以从目标点（如 1）的左边（比它小的一侧）或右边（比它大的一侧）靠近。
• 从右边趋近：记 x → x₀⁺（从比 x₀ 大的那一边）；从左边趋近：记 x → x₀⁻（从比 x₀ 小的那一边）。
• 记号：右极限 lim(x→x₀⁺) f(x)，左极限 lim(x→x₀⁻) f(x)（课中写作“x 趋现于 x0−/x0+”）。
• 图形上：沿 x 轴无限靠近该点，看函数值是否滑向某个值。

二、例 1：x→1 处的左右极限

• 讨论函数在 x=1 这一点的极限：从右边下来、从左边上来，函数值都能靠近同一个数。
• 结论：左极限 = 右极限 的情况，双侧极限就存在。
• 老师强调“不能靠趋势瞎猜”，要看定义。

三、例 2：分段函数在 x=0

• 例题：函数在不同区间表达式不同（“分转”=分段函数），图像可以画出来。
• 在 x=0：右边极限（从比 0 大的这边）→ 函数值趋近 1；左边极限（从比 0 小的这边）→ 趋近 −1。
• 结论：左右极限都存在，但不相等（一个向 1、一个向 −1），所以函数在 0 点极限不存在。“有些像是向 1 靠近，有些像是向 −1 靠近，不能收敛到同一个数”。
• 老师补充：“如果最后的结果它们不一样，那就是不存在。”

四、三个极限的关系定理

• 综合两个例题提出定理：lim f(x)（双侧）存在 ⇔ 左极限与右极限都存在且相等。
• 若左、右极限都存在但不相等（如 +1 和 −1），则双侧极限不存在。
• “这三个极限之间是有关系的，不是巧合，可以有一个定理说明。”

五、补充例题：左右极限存在但不相等

• 例子：某函数在 x=0 需分段看（带有“随时/绝对”符号——绝对值型），右极限 = 3、左极限 = 4，二者不相等 → 极限不存在。
• 提醒：“要先分左右来看，因为这里带有绝对值”，同时提醒判断极限时先确认是否有定义/是否连续。

六、自变量趋于 ±∞ 的极限（含 1/x）

• 新方向：让 x 向无穷远跑（x → +∞ 沿 x 轴向右，x → −∞ 向左）。
• 例：f(x) = 1/x 的图像（双曲线）——x 向 +∞ 时函数值沿渐近线趋近 0；向 −∞ 时同样趋近 0。
• 无论从正方向还是负方向向远处变化，函数值都向 0 靠近（“都是像零口的一段”）。
• 补充说明：同时考虑两边向远处变化时，若趋向不同（如 1/2 与 −1/2 两边的值），则不存在极限——“它趋向了两个不同的值，所以这个极限不存在”。
• 课上还有正切/反正切类图像演示（有渐近线的图形），观察 x→±∞ 的趋近值（如 ±π/2 附近）。

七、课堂收束：极限概念框架

• 目前只学了定义，基本借助图形观察来判断极限。
• 综合数列极限与函数极限的概念——把“趋势”思想贯通起来（承接第一课）。
• 预告：之后会学更多计算方法和技巧，再看图形就不会这么依赖了。

思维导图（mermaid）

总结

• 左极限 / 右极限：分别考察自变量从目标点某一侧趋近时函数值的走向，记号 x→x₀⁻ / x→x₀⁺。
• 双侧极限存在的判据：左极限与右极限都存在且相等；只要左右不相等（哪怕都存在），极限就不存在。
• 典型反例：分段函数在拼接点（如 x=0）容易出现左右极限不一致；含绝对值的函数也需分侧讨论。
• 无穷远处的极限：x→+∞ 与 x→−∞ 分别考察函数值的趋势；1/x 两侧都趋近 0；若两侧趋向不同值则极限不存在。
• 现阶段以定义 + 图形观察为主，后续将补充分式变形等计算方法。

转录与整理：Traderis 内容管道（2026-10-07）