12.10.2026 数学第一节课 — 无穷小量与无穷大量
来源：12.10.2026 数学第一节课（音频约 85 分钟，约 5102 秒）· 转录：whisper-large-v3-turbo（zh）
概览
本节课是数学课的第一节课，首先复习上一课的内容：数列的极限（含无极限的交替数列）、函数的极限、x → ∞ 以及单侧极限（左右极限）等概念。随后进入新主题——无穷小量 与 无穷大量：无穷小量是极限为 0 的变量/函数；无穷大量是函数值绝对值无限增大的变量。课程讲解了两条重要性质（有限个无穷小量之和/差/积仍为无穷小量；有界变量与无穷小量之积仍为无穷小量），并说明无穷小量与无穷大量互为倒数。最后通过较难的例子（如 x^(1/x) 在 x → 0 的极限）演示换元法与单侧极限的应用。
目录
- 一、复习：数列极限、函数极限与单侧极限
- 二、无穷小量的定义（极限为 0）
- 三、无穷小量的两条性质
- 四、有限个的重要性（反例）
- 五、无穷大量的定义与记号（+∞/−∞）
- 六、无穷小与无穷大的关系（互为倒数）
- 七、综合例题与下节课预告
详细讲解
一、复习：数列极限、函数极限与单侧极限
- 数列极限：把数列每一项写出来观察趋势。例：2, 3, 3/4, 4/5… 可求出极限；而 (-1)ⁿ 这样的数列在 -1 和 1 之间来回跳跃，没有极限（极限不存在）。
- 函数极限的类型：
- x → ±∞ 时 f(x) 是否趋近某常数（如 1/x 在 x → ∞ 时 → 0）；
- 单侧极限：右极限（x → a⁺）与左极限（x → a⁻）；
- 结论：若 左右极限都存在且相等，则函数在该点的极限存在；若左右极限存在但不相等，则极限不存在。
- 例子：分段函数（x<1 时 x²−1，x≥1 时 x+1 之类）——在分段点右极限沿一条线、左极限沿抛物线，两者不相等，故该点极限不存在。
二、无穷小量的定义
- 定义：在极限过程中，若函数（或数列）的 极限为 0，则称它为 无穷小量。例如 x → 0 时 f(x) → 0 的 f(x) 就是无穷小量。
- “无穷小量”不是新概念，就是“极限为 0”的变量/函数。
- 一定要指明极限过程：同一个函数在不同极限过程中是否无穷小量不一样。例：x² 在 x → 0 时是无穷小量；但 x → 1 时 x² 极限为 1，不再是无穷小量。cos x 在 x → π/2 时是无穷小量（cos(π/2)=0），在 x → 0 时不是（=1）。
- 课堂互动：让同学举出使指定函数成为无穷小量的极限过程。
三、无穷小量的两条性质
- 性质 1（有限个）：有限个无穷小量的 和、差、积 仍是无穷小量。用记号 α(x)、β(x) 表示：α+β、α−β、α·β 仍为无穷小量。
- 只有加法、减法、乘法——没有除法：两个无穷小量相除未必是无穷小量（情况可能很复杂，后面会讲）。
- 性质 2：有界变量 × 无穷小量 = 无穷小量。即若 |β(x)| ≤ M（有界），α(x) 是无穷小量，则 α·β 的极限为 0。
- 例：x → 0 时，x²·(1−cos x) 类型；以及「有界函数 × 无穷小量」如 x·sin(1/x)（sin 有界，x 是无穷小量）→ 0。
- 附加讨论：无穷小量不是“很小的数” —— 例如 0.0000007 尽管很小，但它是常数，常数在任何极限过程下的极限都是它本身，不可能变成 0，所以它不是无穷小量。正确说法：无穷小量是极限为 0 的变量或函数。
四、有限个的重要性（反例）
- 性质 1 强调「有限个」。去掉这个条件，结论不成立。
- 反例：n 个 1/n 相加（n 项和 = n·(1/n) = 1）。每一项都是无穷小量，但随着 n 增大项数无限增多，和并不趋于 0，而是等于 1。
- 结论：无限多个无穷小量求和不一定还是无穷小量。平时遇到的通常是两三个这样的有限情形。
五、无穷大量的定义与记号
- 定义：在极限过程中，若函数值 绝对值无限增大，则称该函数为 无穷大量（如 x → 0 时 1/x 型）。
- 要点：
- 无穷大量 不是数，它描述的是“函数没有极限，但函数值无限增大的变化趋势”；函数在该点 没有极限（极限不存在）。
- 同样需 指明极限过程：1/x 在 x → 0 时是无穷大量，但在 x → 1 时极限为 1，不是无穷大量。
- 记号：可细分 正无穷大（+∞）（函数值向上无限增大）与 负无穷大（−∞）（函数值向下无限延伸）；不细分时统一写“无穷大”。
- 例子：
- x² 在 x → 0 时…（等价无穷大讨论）— 实际应指在 x → ±∞ 时 x² → +∞；
- eˣ：x → +∞ 时 eˣ → +∞；
- ln x：x → +∞ 时 ln x → +∞；而 x → 0⁺ 时 ln x → −∞；
- tan x：x → π/2（左/右）时 tan x → ±∞。
六、无穷小量与无穷大量的关系
- 定理：无穷大量与无穷小量 互为倒数。
- 若 f(x) 是无穷大量，则 1/f(x) 是无穷小量（10, 100, 1000… 取倒数 → 1/10, 1/100, 1/1000… 趋近 0）。
- 若 f(x) 是（非零的）无穷小量，则 1/f(x) 是无穷大量（非常接近 0 的数取倒数会变得很大）。
- 应用中注意：分式上下同时趋于 0（0/0 型）或同时趋于无穷（∞/∞ 型）时，不能直接下结论，需要结合这个关系与变形处理。
七、综合例题与下节课预告
- 较难题 1：x → 0 时 x^(1/x) 的极限。设 u = 1/x（换元），则 u → ±∞（左、右极限分开看）；x^(1/x) = e^(u·ln x 形式)/或化到 e 的指数形式——指数函数 e^u 在 u → +∞ 和 u → −∞ 时的极限完全不同（+∞ 与 0），故原极限不存在（左右极限不相等）。
- 较难题 2：0 点处的右极限与左极限（形如 (e^u−1)/(e^u+1) 型）：右极限 u → +∞ 时分子分母同除 e^u 得 (1−e^(−u))/(1+e^(−u)) → 1；左极限 u → −∞ 时 e^u → 0，极限为 (0−1)/(0+1) = −1。左右极限存在但不相等 → 极限不存在。
- 老师说明：考试基本考前面讲过的类型，这种难题了解即可。
- 下节课预告：开始重点讲解 求极限的方法（“极限的运算”），之后能做的题目会多很多；最近两节课主要是概念。
思维导图（mermaid）
graph TD
A["无穷小量与无穷大量"] --> B["复习：极限概念"]
A --> C["无穷小量"]
A --> D["无穷大量"]
A --> E["关系：互为倒数"]
B --> B1["数列极限 （ -1 ）ⁿ 无极限"]
B --> B2["函数极限 x → ±∞"]
B --> B3["单侧极限：左右相等才存在"]
C --> C1["定义：极限 = 0"]
C --> C2["须指明极限过程"]
C --> C3["性质1：有限个和差积"]
C --> C4["性质2：有界 × 无穷小"]
C --> C5["反例：无限个 1/n 之和 = 1"]
C --> C6["不是“很小的数”"]
D --> D1["定义：｜f｜ 无限增大"]
D --> D2["无极限但有趋势"]
D --> D3["正无穷 +∞ / 负无穷 −∞"]
D --> D4["例：eˣ, ln x, tan x"]
E --> E1["无穷大倒数 → 无穷小"]
E --> E2["无穷小倒数 → 无穷大"]
A --> F["综合例：x^（1/x） 换元"]
F --> F1["左右极限不相等 → 不存在"]
总结
- 本节课延续极限专题：先复习数列/函数极限与单侧极限的判定（左右极限存在且相等），再引入两个新概念——无穷小量（极限为 0 的变量）与无穷大量（|f| 无限增大的变量）。
- 关键性质：有限个无穷小量的和差积仍是无穷小量；有界变量乘以无穷小量仍是无穷小量；无限个无穷小量之和不一定（反例 n 个 1/n 和为 1）。
- 无穷小量与无穷大量互为倒数；讨论它们时必须指明极限过程。
- 较难例题（x^(1/x) 等）展示了换元法与左右极限的判断：左右极限存在但不相等 → 极限不存在。
- 预告：下节课开始讲求极限的方法（运算），题型将大幅增加。
转录与整理：Traderis 内容管道（2026-10-28）