28.10.2026 数学第一节课（导数运算法则）

28.10.2026 数学第一节课：导数的运算法则与基本公式

本笔记根据 28.10.2026 数学课录音整理。ASR 转写噪声较大，以下按课堂结构和数学含义复述；公式以数学定义为准。

课程概览

• 复习导数的定义、几何意义和切线方程。
• 学习导数的四则运算法则：和差、常数倍、乘积、商。
• 掌握 16 个基本导数公式，要求背下来，考试不能看笔记。
• 通过多项式、乘积、商、切线等例题练习。

一、复习：导数与几何意义

• 导数描述函数在某一点的变化率，本质是一个极限。
• 几何意义：曲线 y = f(x) 在点 (x0, f(x0)) 处的切线斜率等于 f′(x0)。
• 切线方程：y = f(x0) + f′(x0)(x − x0)。
• 可导必连续；连续不一定可导。
• 基本初等函数的导数可以由定义推出，但做题时直接使用公式。

二、导数的运算法则

1. 和差法则

• (u ± v)′ = u′ ± v′
• 多个函数相加或相减，可以逐项求导。
• 例：(x³ + 2x − 4)′ = 3x² + 2。

2. 常数倍法则

• (C · u)′ = C · u′，其中 C 是常数。
• 常数不参与求导，直接提到导数外面。
• 特别地，常数的导数为 0：(C)′ = 0。

3. 乘积法则

• 两个函数：(uv)′ = u′v + uv′。
• 三个函数：(uvw)′ = u′vw + uv′w + uvw′。
• 更多因子同理：每次只对其中一个因子求导，其余不变，再把各项相加。
• 注意：不是 u′v′，不能把两个导数直接相乘。

4. 商法则

• (u / v)′ = (u′v − uv′) / v²，其中 v ≠ 0。
• 分母先平方；分子是“分子求导乘分母，减去分子乘分母求导”。
• 注意分子中两项的顺序，减号不能反。

5. 常数除以函数

• (C / v)′ = −C · v′ / v²。
• 这是商法则中 u = C、u′ = 0 的特殊情况。

三、16 个基本导数公式

1. (C)′ = 0
2. (x)′ = 1
3. (x^n)′ = n · x^(n−1)
4. (e^x)′ = e^x
5. (a^x)′ = a^x · ln a（a > 0，a ≠ 1）
6. (ln x)′ = 1 / x（x > 0）
7. (sin x)′ = cos x
8. (cos x)′ = −sin x
9. (tan x)′ = 1 / cos²x = sec²x
10. (cot x)′ = −1 / sin²x = −csc²x
11. (sec x)′ = sec x · tan x
12. (csc x)′ = −csc x · cot x
13. (arcsin x)′ = 1 / √(1 − x²)
14. (arccos x)′ = −1 / √(1 − x²)
15. (arctan x)′ = 1 / (1 + x²)
16. (arccot x)′ = −1 / (1 + x²)

课堂要求：这些公式要记在脑子里，不能只记在笔记上；考试时不能看公式表。

四、例题

例 1：多项式

求 y = x³ + 2x − 4 的导数。

• 逐项求导：(x³)′ = 3x²，(2x)′ = 2，(4)′ = 0。
• 所以 y′ = 3x² + 2。

例 2：三个函数相乘

求 y = x² · e^x · sin x 的导数。

• 按乘积法则，每次只对一个因子求导：

y′ = (x²)′ e^x sin x + x² (e^x)′ sin x + x² e^x (sin x)′

• 代入基本公式：

y′ = 2x e^x sin x + x² e^x sin x + x² e^x cos x

• 提取公因式：

y′ = x e^x (2 sin x + x sin x + x cos x)。

例 3：商法则与 tan x

求 y = sin x / cos x 的导数。

• 用商法则：

y′ = [(sin x)′ cos x − sin x (cos x)′] / cos²x

• 代入：(sin x)′ = cos x，(cos x)′ = −sin x。
• 得到：

y′ = [cos x · cos x − sin x · (−sin x)] / cos²x = (cos²x + sin²x) / cos²x = 1 / cos²x。

• 这与公式 (tan x)′ = 1 / cos²x 一致。

例 4：乘积法则与 arctan

求 y = x² · arctan x 的导数。

• y′ = (x²)′ arctan x + x² (arctan x)′
• = 2x arctan x + x² / (1 + x²)。

例 5：切线方程

• 已知曲线 y = f(x)，在 x0 处的切线斜率为 f′(x0)。
• 切线方程：y = f(x0) + f′(x0)(x − x0)。
• 课堂例题中，先求导得到斜率，再把 x0 代入原函数求切点纵坐标，最后写方程。
• 例如在 x0 = 5/3 处，若求得 f′(x0) = 4，则切线为：

y = f(5/3) + 4(x − 5/3)。

五、易错点

• 乘积法则不是“分别求导再相乘”，而是 u′v + uv′。
• 三个函数相乘时，要写三项，不要漏掉任何一项。
• 商法则分子是 u′v − uv′，顺序不能反。
• ln 2 是常数，导数为 0；ln x 才是函数。
• 求导前能化简的先化简，尤其是分式和乘积。
• 基本公式要熟记，否则后面的运算会很慢。

六、总结

• 导数本质是极限；几何意义是切线斜率。
• 四则运算法则：和差、常数倍、乘积、商。
• 乘积法则要“逐项求导再相加”；商法则注意分母平方和分子顺序。
• 16 个基本公式必须背熟。
• 切线问题先求导得斜率，再找切点，最后写点斜式方程。

来源

• 原始音频：28.10.2026 数学第一节课（约 44 分钟）。
• 转录：transcript.md（whisper-medium，zh/auto）。
• 说明：ASR 识别存在噪声，个别术语和数字按上下文校正。